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同一个问题「从 $1 \sim n$ 里选 $m$ 个数」，有两种最常见的递归写法： 二叉树递归版：每个数字二选一（选 / 不选），按数字分层 for 多叉版：每层填一个位置，按已选个数分层 两种都是 DFS、都是前序，但遍历的搜索树根本不是同一棵。 一、问题从 $1 \sim n$ 中选出 $m$ 个数，按字典序输出所有组合。 以 $n = 3,\ m = 2$ 为例，答案只有三组： 1{1,2} {1,3} {2,3} 二、写法 A：二叉树递归（选 / 不选）2.1 核心思想每一层对应一个数字，每个节点只有两个分支：拿它，或者不拿它。 12345678910111213int n, m;vector<int> a;void calc(int x) { // 正在决定数字 x 选不选 if ((int)a.size() + (n - x + 1) < m) return; // 剪枝：后面的全选也凑不满 if ((int)a.s...

手速就是分数。下面是算法竞赛里约定俗成的简写，统一使用能省下大量敲键盘的时间。 基础 calc = calculate：计算、递归求解 sol = solve：主求解函数 chk = check：校验、判断合法性 qry = query：查询 upd = update：更新 cnt = count：计数器 res = result：答案、结果 ans = answer：最终答案（最常用） tmp = temporary：临时变量 lst = last：上一个、最后 nxt = next：下一个 pre = previous：前驱 cur = current：当前 tot = total：总和、总数量 图论 u / v：节点（约定俗成，不是缩写） fa = father：父节点（并查集、树） dep = depth：深度 dis = distance：距离 vis = visit：访问标记数组 edg = edge：边 to：边指向的点 siz = size：子树大小 rt = root：根 dfn：dfs 序（固定缩写） low：tarjan 里 low 值（固定缩写） ...

type_traits 是编译期类型反射工具库，头文件 <type_traits>。 作用：编译期查询、修改类型属性，所有逻辑在编译阶段完成，运行时不产生任何指令。大量配合模板、SFINAE、concept、万能转发使用。 分成两大类：类型查询（traits 萃取） 和 类型变换（修改类型） 一、类型查询：is_xxx 系列C++17 之后推荐用 _v 变量模板，直接得到 bool 编译期常量，写法 std::is_xxx_v<T>。 1.1 基础类别判断1234567891011std::is_void_v<T> // 是否 voidstd::is_integral_v<T> // 是否整型 int/long/char 等std::is_floating_point_v<T> // 是否浮点 float/doublestd::is_arithmetic_v<T> // 算术类型 = 整型 + 浮点std::...

只针对六大特殊成员函数：默认构造、析构、拷贝构造、拷贝赋值、移动构造、移动赋值。 它们可以在函数声明末尾加 = default; 或 = delete; 来接管编译器的行为。 一、= default：显式默认告诉编译器：请你帮我生成这个函数的默认版本，和编译器隐式自动生成的一模一样。 1.1 什么时候用① 你写了别的构造函数，编译器本来不再生成默认构造，可以手动把它召唤回来： 1234struct A { A(int a) {} A() = default; // 强制让编译器生成无参默认构造}; ② 把函数定义放到类外，依然要求编译器生成默认实现： 1234struct A { A();};A::A() = default; // 定义写在类外，实现仍由编译器生成 ③ 控制特殊成员函数的属性（constexpr、noexcept）。 1.2 特点 函数存在、可调用 函数体由编译器自动生成，是空默认逻辑 默认版本写在类内声明处时，还是隐式的 inline 二、= delete：删除函数告...

constexpr = 编译期可求值。标记变量 / 函数 / 构造函数，告诉编译器：这个东西能在编译阶段就算出结果，而不是等到程序运行时才算。 区分：const 只是"只读"，不一定编译期求值；constexpr 强调"可以编译期计算"。 一、const vs constexpr：最容易混的一对 关键字 含义 求值时机 const 只读，不能改 可以运行时求值 constexpr 编译期可计算 优先编译期求值，也支持运行调用 简单记忆： const：不能写（只读）； constexpr：能在编译期算。 12constexpr double pi = 3.1415926; // 编译期常量const double pi2 = 3.1415926; // 只读常量，语义不同 二、constexpr 变量12constexpr int val = 2 * 2 * 2 * 2; // 编译期直接算出 16，运行时不算int arr[val]; ...

decltype 是 C++11 引入的关键字：推导表达式的类型，编译期就确定，不执行表达式。 1decltype(表达式) // 拿到表达式对应的类型 一句话：decltype 问编译器"这个表达式是什么类型"，编译器如实回答。和 auto 看上去很像，但保留引用 / 顶层 const，比 auto 更精确。 一、四条基础规则decltype(expr) 的推导结果取决于括号内表达式的类型 + 值类别： 表达式 expr 的形态 decltype(expr) 推导结果 变量名（裸的标识符） 变量声明时的类型（含引用） 左值表达式（非变量名） T&（左值引用） 纯右值 T（普通类型） 将亡值（std::move(x) 这类） T&&（右值引用） 简单记：只有"裸的变量名"按字面理解，其他表达式都按值类别加引用。 二、decltype(x) vs decltype((x))：最经典的坑1234int x = 10;decltype(x) a; /...

这一篇是个人向的时间线 + 资源汇总，包含关键考试节点、考研 / 留学路线、英语递进、竞赛优先级、签证对比。信息会随时间更新，仅供参考。 一、一些信息和规划 基准：你现在：2026级本科新生（大一） 本科校内必修类 大学英语四级（CET4） 可报考时间：大一下学期（6月）、大二上（12月），大部分学校大一上不让报 合格线：425；目标：≥500，对保研、复试、留学文书加分 大学英语六级（CET6） 报考前提：四级≥425；考试：每年6/12月 目标：≥480；≥550含金量更高，很多国内考研复试、夏令营看六级 专业课期末：C语言/C++、离散数学、数据结构、操作系统、计算机网络、数据库、算法（考研核心专业课） 计算机二级（非强制，可选）：C/C++，低年级拿，简历加分 竞赛&能力认证（对你CS+生物交叉方向很有用，不是必须考试） 蓝桥杯：每年4月省赛，5月国赛；C++算法，考研复试加分 全国大学生数学建模：每年9月；生信/计算生物学非常看重这个，跨学科项目 PAT计算机能力测试（浙大）：3/9/12月，计算机考研/求职加分 软考（可选）：软件设计师，每年...

C/C++ 里所有位运算（移位 >> <<、& | ^ ~），全部是对【补码】进行操作，不是原码。计算机内存里整数永远以补码形式存放，位运算直接操作内存里的二进制比特（补码）。 想要搞懂"补码为什么是补码"，可以先看《原码、反码、补码：为什么计算机只用"加法"就能做减法》那一篇。 一、左移 <<向左移动一位，移出去的位舍去，右边补 0。 12int a = 26;int b = a << 1; // 52 直观理解：a << n 相当于 a * 2^n（在 不溢出的前提下）。 1.1 负数左移也要算补码12-26 的原码：10011010-26 的补码：11100110 -26 << 1： 12补码左移：11100110 → 11001100（最高位的 1 移出去，最低位补 0） 把 11001100 当补码读回十进制：−52。 左移没有"算术 / 逻辑"之分——不管正负数，移出去的位都丢，右边一律补 0。 二、...

定时器（TIM）是 STM32 里最常用、最强大的外设之一。它能对输入的时钟进行计数，并在数值达到设定值时触发中断——本质就是一个硬件计数器。 这一篇只整理通用定时器最常用的部分：基本定时、PWM 输出（如果你想补全这一节，可以写在下面留白处）。 一、定时器能干什么 用途 说明 定时中断 每隔固定时间进一次中断，做周期性任务（LED 闪烁、按键扫描） 输出比较 / PWM 输出可变占空比的方波，驱动电机、舵机、LED 调光 输入捕获 测量外部信号的频率 / 占空比 / 脉宽 编码器接口 读取旋转编码器的旋转方向与速度 二、几个核心概念2.1 时钟源定时器由内部时钟（CK_INT） 或外部信号驱动。对应的预分频器把时钟频率降到"想要的计数频率"。 2.2 三个关键寄存器（概念） 寄存器 / 参数 作用 PSC（预分频器 Prescaler） 把输入时钟先除一下：CK_CNT = CK_PSC / (PSC + 1) CNT（计数器 Counter） 当前计数值，从 0 累加到 ARR 就触发事件 A...

头文件：<algorithm> 一句话：对 [first, last) 左闭右开区间排序。 C++11 之后标准规定：sort 是不稳定排序，实现一般是 introsort（内省排序 = 快速排序 + 堆排序 + 插入排序三者结合）。时间复杂度：$O(N \log N)$。 一、函数原型1234567// 版本 1：默认升序，用 < 比较template< class RandomIt >void sort( RandomIt first, RandomIt last );// 版本 2：自定义比较函数 cmptemplate< class RandomIt, class Compare >void sort( RandomIt first, RandomIt last, Compare comp ); ⚠️ 区间是 [first, last)——包含 first，不包含 last。数组/vector 排序一般写 sort(a.begin(), a.end())。 二、基础示例123456789101112#include <...